ⓘ 百科全書. 你知道吗? 页 40




                                               

根式之積

根式之積 者,兩根式之積也,有式云 a ⋅ b = a b {\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}

                                               

歐拉等式

歐拉等式 ,或號曰歐拉公式,乃數學界一大公式,系三角函數與複指數函數。其文如下: e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta } ,當中 e {\displaystyle e} 乃歐拉數, i {\displaystyle i} 乃負一之平方, sin {\dis ...

                                               

牛頓法

方程 f x {\displaystyle fx} ,導數 f ′ x {\displaystyle fx} 且 f ′ x = lim Δ x → 0 f x + Δ x − f x Δ x {\displaystyle fx=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {fx+\Delta x-fx}{\Delta x}}} 則有 Δ x = lim Δ x → 0 f x + Δ x − f x f ′ x {\displaystyle \Delta x ...

                                               

生成

集甲(A)生矢量空間乙(B)者,乙乃含甲之最小矢量空間也,曰甲生成矢量空間(「記曰 ⟨ A ⟩ {\displaystyle \langle A\rangle } 或 spanA」 )。凡集含甲而小於乙者,必非矢量空間也。 集甲生域乙者,乙乃含甲之最小域也,曰甲生成域。 集甲生群乙者,乙乃含甲之最 ...

                                               

幾何

幾何 之學,一名 形學 ,為數學之一部。古典之幾何,專研平面及空間;現代之幾何學則專研流形。

                                               

全等

所謂二圖形之 全等 ,言其同形狀而同小大;換言之,適變換之,可相疊而重合,此謂「變換」可含平移、旋轉、鏡射。 二圖形之全等,其角邊有所對應,可知其對應之角皆相等,對應之邊亦相等。反之,二圖形對應之角皆相等、對應之邊亦皆相等,則二圖形相全等也。 形狀同 ...

                                               

分形

分形 者,又曰 碎形 、 殘形 ,維之弗以整數也,性自相似也。

                                               

周界

有集甲(A),不在甲內或甲外者,曰界點。聚以成集,曰甲之周界(記曰「dA」),甲之閉包去其內也。甲之周界,同乎其補集之周界也。 夫甲之界點者,其所屬開集,與甲相交非空,與甲之補集相交亦非空。 夫周界者,咸閉集也。

                                               

垂直

垂直 者,成直角也。 觀乎坐標幾何,二線之斜度相乘為負一也。 二曲線于相交點之切線垂直,曰二曲線垂直于相交點。 線垂直平面上直線者,曰線垂直于平面,而線曰平面之法線。 二平面上直線咸垂直,同乎二平面之法線垂直,曰二平面垂直。 線交曲面于一點,而線垂直于 ...

                                               

平行

平行 者,同面二線而不相交也。換言之,二線斜率同也。惟異面而不相交者,不謂平行,乃稱 歪斜 。

                                               

幾何原本

幾何原本者 ,度數之宗,所以窮方圓平直之情,盡規矩準繩之用也。希臘人歐幾里得所纂。明人徐光啓并西洋教士利瑪竇譯其前六卷,定名幾何原本;而其後九卷,乃清人李善蘭与英吉利人偉烈亞力之所譯。 是書也,開歐氏幾何之濫觴。以公理為其基礎,證他命題也。

                                               

斜率

斜率 者,線之正切也,亦線之高除以進,記曰 m {\displaystyle m} ,有 m = tan ⁡ α = y 2 − y 1 x 2 − x 1 = y 1 − y 2 x 1 − x 2 {\displaystyle m=\tan \alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}}

                                               

曲線

曲線 者,歐氏幾何之非直線也。迨非歐幾何生,曲直難分,時人遂新其義,並謂直線乃曲線之一也。

                                               

歐氏幾何

歐氏幾何 ,歐幾里得始創也。初述於。獨尊泰西二千年,時幾何必歐氏耳,及傳中華,徐光啟亦云不可增刪;迨十九世紀,高斯、羅巴切夫斯基、波約三人破之,立新幾何,故其亦曰 經典幾何 。二十世紀初,相對論立,其以非歐幾何為本,歐氏幾何獨尊物理不再耳!

                                               

測地線

測地線 ,或曰 短距線 ,相接兩點之最短曲線也。 觀乎歐氏幾何,測地線咸直線也。至若球面幾何,南極、北極之短距線,大圓也。 光順短距線而行,然觀星之時,得知其線莫直,故宇宙乃非歐幾何耳。

                                               

球 者,面上之點,俱與心等距也。 凡直接面心者,曰半徑,其長咸同耳。 面上二點相接,其貫心者,曰徑。 球與平面之交,圓也。

                                               

相似

所謂二圖形之 相似 ,言其同形狀也;換言之,適變換之,可相疊而重合,此謂「變換」,縮放、平移、旋轉、鏡射也。 二形之相似,其角邊有所對應:其對應角相等、對應邊成定比。反之,二形對應角皆相等、對應邊成定比,則相似。 相似而同小大之二圖形,亦可謂之相似, ...

                                               

相切

二圖形之 相切 ,謂其交於一點,擦而過也。交點名 柢 ,通曰 切點 。

                                               

線 者,二點之接也。蓋必從歐氏幾何之首四公理。 直線 者,線段向兩端之無限引伸也。

                                               

角 者,旋之度也。逆時而行者正也,反之負也。 半周天為 平角 ;四分之一周天為 直角 ;不及直角者,曰 銳角 ;愈直角而不及平角者,曰 鈍角 ;愈平角而不及一周天者,曰 優角 。

                                               

距 ,相去之遠近也。 兩點之距,當世曰度量耳。於流形,乃二點測地線之長。於歐氏幾何,乃二點直線之長。 點集之距,集中物距點之最短者。 二集之距,二集所屬相距最短者。

                                               

頂點

頂點 者,有角於其上之點也。可稱其為一角之頂點,亦或一多邊形之頂點,又或者一多面體之頂點也。

                                               

黃金分割

黄金分割 ,一曰 黄金比 ,或曰 黃金數 ,泰西以為藝術之數也。五開方,加一,再半之,即得此數。約為一點六一八,疇人記之曰φ。 有矩形,以短邊作正方形,去之,得相似矩形,則矩形兩邊之比為黃金數。或曰:有矩形,短減長比短,同乎短比長(「a-b:b=b:a」),則長 ...

                                               

點 者,幾何之本也。墨子謂之 端 。歐幾里得曰:「點者無分。」及至當世,疇人曰:「點者,幾何之本,莫之須解。」或曰:「空間者,集也,其元素皆可謂『點』。」 坐標幾何之中,點乃多元組也。至若拓撲空間,所屬多曰點耳。

                                               

克萊因瓶

克萊因瓶 ,居四維世界之二維平面。具無定向性,無上下裏外之分。德疇人克萊因首言之,其構類乎莫比烏斯帶矣。克萊因瓶者,三維空間投影,狀甚似瓶,因以為名。平面不與自身相交,右圖相交處實三維投影之錯覺也。 此瓶異於常者,蓋無邊也,表面無盡而不止。又異於氣 ...

                                               

內點

甲(A)之內點者,含于一開子集內之點也。甲之內點,聚以成集,曰甲之內(記曰「A°」)。甲之內者,甲之最大開子集也,甲之開子集之並也。 甲補集之內點,曰甲之外點。甲補集之內,曰甲之外。

                                               

分離 (拓撲)

二集曰 分開 者,其交為空。(A ∩ B = φ) 二集曰 分離 者,此集之閉包交彼集為空,彼集之閉包交此集亦空。( A ¯ ∩ B = A ∩ B ¯ = ϕ {\displaystyle {\bar {A}}\cap B=A\cap {\bar {B}}=\phi } ) 二集曰 鄰域分離 者,二集有分開之鄰域也。(有鄰域 M⊇A 及 N⊇B, M ...

                                               

單連通

道路連通集曰單連通者,凡圈咸同倫常數也(即可縮作一點),同乎其同倫群為零,故又曰一連通也。 單通連之面,其虧格為零。 單通連乃拓撲不變量也。

                                               

基 (拓撲)

有子集甲,為空間之覆蓋,且甲二物之交咸為甲屬之並者,則甲為空間某拓撲之基也。

                                               

子拓撲

子拓撲 者,拓撲所衍者也。子集合子拓撲,成拓撲子空間耳。以此觀之,三角、正方、曲線、流形,莫非拓撲空間也。

                                               

局部

局部 者,凡點必有鄰域合此性也。如局部連通,局部同胚,局部凸也。

                                               

拓撲學

拓撲學 ,亦曰 位相學 ,幾何學引伸也,論物之形,毋視度量,故亦曰「橡膠幾何」。 拓撲學之心,拓撲空間也。拓撲空間之研究,曰「點集拓撲」;加諸般條件,因以代數方法論之,曰「代數拓撲」;至若加諸般條件,因以分析方法論之,曰「微分拓撲」。 三角及方圓,咸 ...

                                               

拓撲閉包

集甲(A)之閉包者(記曰「 A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} 」),含甲之最小閉集也,含甲之閉集之交也。

                                               

準基

凡基必準基也。 準基者,取任意多有限量元素相交之並,聚以成集,即得一基。

                                               

稠密

分數集及無理數集,稠密于實數集也。 度量空間,稠密于其完備也。 空間,稠密也。

                                               

積拓撲

有拓撲空間族({X i }),得其直積(ΠX i )。積拓撲者,直積之最粗拓撲,以令直積往族中拓撲空間之投影(ΠX i → X j, x i→x j )皆連續也。 若指標集為有限,則拓撲之直積為積拓撲之準基也。

                                               

緊集

緊集者,咸開覆蓋皆有有限子覆蓋也。 觀度量空間,緊集者,同乎咸序列必有收斂之子序列也。

                                               

莫比烏斯帶

莫比烏斯帶 ,獨一面一界曲面也,乃拓撲學構造。一八五八五年,德疇人暨天學者莫比烏斯、李斯丁各得之。欲得此帶,當扭紙帶而接兩端,方成。莫比烏斯帶者,實有左右之分,相互對稱。若扭紙帶以順時針,可得右性者,反之可得左性。

                                               

覆蓋

集甲(A)之覆蓋(C)者,甲含于其屬之並也( A ⊆ ∪ B ∈ C B {\displaystyle A\subseteq \cup _{B\in C}B} )。若覆蓋之物皆開,曰 開覆蓋 。 覆蓋之子集為覆蓋者,曰 子覆蓋 。 覆蓋之基數為有限者,曰 有限覆蓋 。

                                               

連續

甲乙皆度量空間。天連續于乾,同乎凡以坤為心之開球(Bb,ε),必有以乾為心之開球(Ba,δ),其象含以其中(fBa,δ⊆Bb,ε);同乎凡有正數子(ε> 0),必有正數丑(δ> 0),相去乾小于丑者(dx,a 0),與乾相差小于丑者(|x-a| 0 {\displaystyle fx={\begin{case ...

                                               

連通

集甲(A)曰連通者,非二分離集之並也。 空間之最大連通子集,曰 連通分支 也。

                                               

道路連通

集甲曰道路連通者,凡二點必有道路相接也。又曰零連通也。 集甲曰 弧連通 者,凡二點必有道路相接,且道路為同胚映射也。 空間之最大道路連通子集,曰 道路連通分支 也。

                                               

鄰域

點甲之鄰域者,有開子集含甲也。或曰:甲在其鄰域之內。 觀乎度量空間,集乙為點甲之鄰域者,則有正數,相去甲小于此正數者,咸乙之屬。故有鄰域之名。或曰:甲稍移,仍在乙中。 集甲之鄰域者,甲含于其內也。

                                               

閉開集

離散拓撲者,集咸閉開也。 空間與空集,閉開集也。 數線去零為拓撲空間,則正數集為閉開也。

                                               

閉集

閉集 者,開集之補集也。開集者,位相之本也。(詳見拓撲空間一文,本文聊論度量空間之閉集而已。) 度量空間之 閉集 者,有邊之集也。

                                               

開集

開集 者,拓撲之屬也。拓撲者,位相之本也。(詳見拓撲空間一文,本文聊論度量空間之開集而已。) 度量空間之 開集 者, 開球 之並也。開球者,無邊之球也,故開集為無邊之集。

                                               

龐加萊懸想

龐加萊懸想 者,所以論三維空間之同胚於三次元球面也,即以 {\displaystyle } 示其位。若球面之同胚於平面,均守四色定理,均可以 {\displaystyle } 示其位,然面包圈弗之,今已爲數學家所證矣。

                                               

偏導數

偏導數 者,乃多元函數 f {\displaystyle f} 於某變量 x i {\displaystyle x_{i}} 之變率。 計偏導數時,若微分於某變量 x i {\displaystyle x_{i}} ( ∂ f ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}} ),則視其余變量 x j {\displaystyle x_{j} ...

                                               

哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想 ,數論未解之古題也。曰:凡偶數大於二者,皆為二素數之和。公曆一七四二年六月七日,普魯士疇人哥德巴赫書達數學者歐拉,內書猜想曰: 凡整數大於二皆為三素數和。 彼以一為素數,故有是言。此例今廢,因易為: 凡整數大於五皆為三素數和。 歐拉亦感 ...

                                               

手算開方

或問:毋論中原泰西,古人無電算盤,何以算開方? 答曰:可以直式算之。