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三角函數

歐拉究級數,得歐拉等式,知三角函數可以指數示之。取一角,乘負一開方,歐拉數之其乘方,得一數( e i α {\displaystyle e^{i\alpha }} );減倒數,半之,除以負一開方,得正弦( sin ⁡ α = e i α − e − i α 2 i {\displaystyle \sin \alpha \,=\,{e^{i\alpha }-e ...

                                               

正弦定理

正弦定理 者,三角公式也。其義曰:三角邊除以對角之正弦函數,常數也。其式曰: a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}} 且常數者,其外接圓之直徑也。故: a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c s ...

                                               

海倫公式

海倫公式 ,又譯為 希羅公式 、 希倫公式 、 海龍公式 ;亦稱 秦九韶公式 、 海倫─秦九韶公式 、 三斜求積 。三角形之理也,以三斜求其面積之術也。 通式: S = s − a s − b s − c {\displaystyle S={\sqrt {ss-as-bs-c}}} a {\displaystyle a} 、 b {\displaystyle ...

                                               

中文數字

夫 中文數字 者,先乎阿拉伯數字之中華計數也。今阿拉伯數字盛行,東亞諸國亦從之。然中文之大寫數字仍通行乎支票也。

                                               

平方數

平方數 者,整數平方之所得也,記曰 n 2, n ∈ N {\displaystyle n^{2}\,n\in \mathrm {N} } ,其n取值無窮,故其無窮。

                                               

正數

正數 者,大於〇之數也。小於〇者,謂之負數。一、二、三皆其例也。

                                               

畢達哥拉斯常數

畢達哥拉斯常數 者,數學常數也,記曰 2 = 2 1 2 = 1.41421356 ⋯ ⋯ {\displaystyle {\sqrt {2}}=2^{\frac {1}{2}}=1.41421356\\cdots }

                                               

兩河數學史

兩河文明,又曰美索不達米亞、新月沃土文明者,底格里斯河與幼發拉底河間之古文明也。有蘇美爾、巴比倫、亞述、阿卡德、埃及、西臺及埃蘭一眾文明。 現存楔形文字泥版示其混用十進制與六十進制,知勾股定理。古巴比倫人已有平方根之算法。

                                               

西方數學史

西方之數學 始於古埃及,初為釐定土地之用,後又有古希臘之歐幾里德、亞里斯多德、亞基米德等補完之。 即後泰西入教治年月,數學近乎停滯。

                                               

內積空間

內積空間 ,內積之所也。夫 內積 者,關乎角也。凡二物所交之角,可由內積知之。

                                               

域 (代數)

域 ,集也,合加乘二法,交換環也。且有 集去零,合乘法,交換群也。 甲減乙者,甲加負乙也;甲除乙者,甲乘乙逆也,然乙必非零耳。

                                               

度量空間

量度空間 者,集合也,凡二物之間必有一數,曰 度量 (「d」)。凡度量者,必以下是從: 甲乙之度量,同乎乙甲之度量。(「 d x, y = d y, x {\displaystyle dx,y=dy,x} 」) 二物之度量為零,同乎二物皆一也。(「 d x, y = 0 ⇔ x = y {\displaystyle dx,y=0\Leftr ...

                                               

拓撲量子場論

拓撲量子場論 者,量子場論一也,其相關函數於時空(微分)同胚下不變。於物理,彼為吾人初窺完整量子場論之方便法門;於疇算,彼為廿世紀八十年代以降之重要範式,貫代數、幾何、拓撲諸學,啓示新知。

                                               

環 (代數)

環 者,集也,有加乘二法(「+ ,×」),合: 集合加者,交換群也,有單位元曰「零」。 甲乙之積乘丙,同乎甲乘乙丙之積也(「x × y × z = x × y × z」),曰結合律。 集合乘者,半群也,即守封閉性與結合律。 甲乘乙丙之和,同乎甲乙之積加甲丙之積;甲乙之和乘丙 ...

                                               

矢量空間

矢量空間 者,歐基里德空間之引伸也,亦曰 線性空間 、 向量空間 ,究之者,線性代數也。

                                               

範空間

範空間 者,實矢量空間或複矢量空間也,凡物(「x」)必有一數,曰 範 (「 ‖ x ‖ {\displaystyle \|x\|} 」)。凡範者,必以下是從: 範為零者,零也。(「 ‖ x ‖ = 0 ⇔ x = 0 {\displaystyle \|x\|=0\Leftrightarrow x=0} 」) 數乘物以範,同乎數之絕對值乘物之 ...

                                               

群 (代數)

群 者,對稱性之抽象,今代數之本也。光之者,法國疇人伽羅瓦耳。

                                               

雉兔同籠

雉兔同籠 ,又曰 和尚分菓 ,可以二元一次方程算題也,出於孫子算經。

                                               

韓信點兵

韓信點兵 ,又曰「 孫子定理 」、「 鬼谷算 」、「 隔墻算 」、「 剪管術 」、「 秦王暗點兵 」、「 物不知數 」,今曰 中國餘數定理 ,為一算題。

                                               

伽利略

伽利略 ,伽利萊氏 ( 義大利言:Galileo Galilei ) ,義大利人,一五六四年生。宗族顯貴,家道中摧,業敗門衰。祖操醫術,聞乎佛羅倫薩,父亦聰慧,尤工樂律,諳籌術,通外語數種,履聘於外,終不得命,家計不濟,終日苦厄,寄望於子。伽氏少而敦敏,格致、算術、 ...

                                               

卡爾達諾

卡爾達諾 ( Girolamo Cardano ) 公 吉羅拉莫 者,義大利人也。一五〇一年九月二十四日生於帕維亞 ( Pavia ) ,一五七六年九月二十一日卒於羅馬。義大利格學、算學巨擘也。

                                               

哥德爾

哥德爾 (德文: Kurt Gödel ),奧匈百諾人,公元一九零六年四月二十八日生。 年十九,入維也納大學習數。甚聰穎,深得其師韓恩賞識。越明年,恩薦之入「維也納學術圈」。年二十六,得證「不完備定理」,遂知名於世。及後,應斐布倫之邀,教習於紐約普林斯頓高等研 ...

                                               

帕斯卡

帕斯卡 ( Blaise Pascal )者,法國克萊蒙人也,一六二三年六月十九日生,世貴顯。年九歲,舉家遷巴黎。年十七,著圓錐論,笛卡兒甚賞識之。此書雖軼,然其載之「帕斯卡定理」傳世迄今。一六四二年,始製計算機。一六五四年皈依天主教,好詹森派学说。一六六二年八 ...

                                               

歐幾里得

歐幾里得 ,古希臘人也,公元前三二五年生。蓋經典幾何之祖,集古希臘數學之大成者。 終其一生,庶幾授館於托勒密一世治下之亞歷山大港。集西元前七世紀以降古希臘幾何所研以邏輯之義,成「幾何」之學。著幾何原本,凡一十三卷,乃公理系統之始,不識者禁入柏拉圖學 ...

                                               

歐拉

歐拉 (Leonhard Euler),瑞士巴塞爾人也,一七零七年四月十五日生。 一七二六年得博士銜。翌年,教俄羅斯科學院,俄與數學競賽,論船桅之構作,僅敗於布給。布給者,泰西航海學之父也。 越四年,除教授。復越兩年,拜數學系主任。翌年,罹患,右目眇。 一七四一年 ...

                                               

繆勒

繆勒 ( Johannes Müller ) 者,德意志人也,一四三六年六月六日生於普魯士。德意志算學、占星學巨擘也。時人著作,多託拉丁文名,繆勒自署曰 雷吉奧蒙塔努斯 ( Regiomontanus ) 。 少聰穎,時人稱之。年十六,入維也納大學習數學。維也納大學,時歐洲算學之宗也 ...

                                               

艾狄胥

保羅 艾狄胥 ,匈牙利布達佩斯疇人也,祖裔猶太,一九一三年三月廿六日生。 畢身鰥居,好遊歷四方,無定教席。 一九九六年九月,與波蘭華沙數學會議,心病復發,二十日卒,年八十四。 艾氏論文逾千,冠絕數壇,惟以頁數論,尚次於歐拉。好言笑,謂上帝為大法西斯, ...

                                               

趙爽

趙爽 ,一名 嬰 ,字 君卿 ,三國吳國疇人也。其生卒之年,不可考。或有言,黃武元年許,趙爽探而註之,作。并書,證勾股定理也。

                                               

韋達

韋達 ( Francois Vieta ) 者,法蘭西算學、幾何學巨擘也。一五四〇年生於豐特奈,一六〇三年十二月十三日卒於巴黎。嘗任巴黎裁判所律師,繼任布列塔尼議員。一五八〇年,得貴人之助,始任巴黎國會資政官 ( maître des requêtes ) ,卒於任上。 篤信天主教,極信 ...

                                               

高斯

高斯 ,德意志不倫瑞克人也。一七七七年四月三十日生。出身寒門,幼善算學。年十歲,其師比特納命眾童子計百內自然數總和。少頃,高斯即報曰:「其五千零五十乎?」眾皆異之。年十一,得二項式定理。年十五,入卡羅林學院,是歲,得質數定理。年十七,得最小二乘法 ...

                                               

龐加萊

龐加萊 ( Jules Henri Poincaré ) ,法蘭西南錫人也,一八五四年四月廿九日生。先後卒業於南錫學校及南錫大學,得工程學位,後兩學府易名龐加萊學校及龐加萊大學。受雇法國礦業集團,業餘修微分方程,得數學博士學位。 一八八七年,瑞典王奥斯卡二世六十大壽,徵 ...

                                               

尺 ,又名 間尺 ,所以畫線、度長。常附刻度,然亦有無刻度者。中亦留圖狀,如字母、圓孔者,以便製圖。 多製以塑膠或鐵,亦有製以硬紙、木、竹者。

                                               

算盤

算盤 ,算具也。創於北宋。 自其始創至今,其制不少變。皆為方框,橫間一梁,以桿串珠,珠可循桿上下。以珠之近梁者示其數,梁以下者,以珠當一,以上,以珠當五,又以桿應數位,自右而左,個、十、百、千、萬……與今之記數法無異。隨手撥珠,便成答數,珠動則數出。 ...

                                               

淮南子云︰「非規矩,不能定方圓;非準繩,不能定平直。」 孟子曰︰「離婁之明,公輸子之巧,不以規、矩,不能成方、圓。」又云:「規矩,方圓之至也。」 墨子曰︰「輪匠執其規、矩,以度天下之方、圓。」

                                               

一進制

一進制 者,計數弗以進位也,即以符數示其多寡,故其僅可示正整數也,有 n ∈ N ∗ {\displaystyle \mathrm {n} \in \mathrm {N^{*}} } ,或零以無符示之, n ∈ N {\displaystyle \mathrm {n} \in \mathrm {N} } 如下表

                                               

二進制

二進制 者,逢二進一也。數字獨二,〇、一是也。因其簡便,今電腦均以二進制算數。今人所用皆十進制。

                                               

八進制

八進制 者,基數自捌也,記曰 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 {\displaystyle 0.1.2.3.4.5.6.7}.

                                               

六進制

六進制 者,計數法也。基數有六,滿六進一,记曰 1, 2, 3, 4, 5, 0 {\displaystyle 1.2.3.4.5.0} 。以其二三得六,故其除三而得有窮小數,如下所述: 1 3 = 0.3333 ⋯ ⋯ = 0. 3 ˙ {\displaystyle {\frac {1}{3}}=0.3333\\cdots =0.{\dot {3}}} 1 3 = 0.2 6 {\display ...

                                               

十二進制

十二進制 者,基數之以十二也,其十記曰ᘔ,一作χ;十一記曰Ɛ,一作ε。故非信息技術之「A」「B」也,且不混淆於代數之「a」「b」。 基數: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, χ, ε {\displaystyle 0.1.2.3.4.5.6.7.8.9,\chi,\varepsilon } 。

                                               

十六進制

十六進制 者,基數自十六也,實屬 2 4 {\displaystyle 2^{4}} 進制,故常用於信息技術。是進制常以A至F代十至十五,亦可記曰 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 ∗, 1 ∗, 2 ∗, 3 ∗, 4 ∗, 5 ∗ {\displaystyle 0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.0^{*},1^{*},2^{*},3^{*},4^{*},5^{*}}

                                               

十四進制

十四進制 者,基數有十四也,屬 計數法 ,記曰 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 ∗, 1 ∗, 2 ∗, 3 ∗ {\displaystyle 0.1.2.3.4.5.6.7.8.9.0^{*},1^{*},2^{*},3^{*}}.

                                               

非整數進制

夫二進制,三進制,六進制,十進制爾爾,整數進制也。即滿 K {\displaystyle \mathrm {K} } 進1,且有 K − 1 ∈ N ∗ {\displaystyle \mathrm {K-1} \in \mathrm {N^{*}} } ( N ∗ {\displaystyle \mathrm {N^{*}} } 者,正整數也,亦作 N + {\displaystyle \mathrm { ...

                                               

康托爾定理

康托爾定理 云:「集之基數,小于其幕集。」觀自然數,數甲小于二之甲次方也(「 n < 2 n {\displaystyle n

                                               

康托爾悖論

康托爾悖論 曰:「所有集合,聚以成集,且曰極集,其基數若干?」 康托爾定理云:「集之基數,小于其幕集。」然極集必含己之幕集也,遂生矛盾。康托爾于一八九九年得此悖論。 化解之道,公理集論也;極集不復為集,則矛盾不再耳。

                                               

拓撲空間

拓撲空間 ,開集之所也,又譯 佈局 、 位相 。 開集 者,無邊者也,疇人以為位相之本。拓撲空間之究,曰拓撲學。

                                               

無窮集合

無窮集合 者,有無限元素之集也,或曰 無限集 。反之則曰 有限集 。 夫無窮集合(A)者,同乎: 自然數必單射之(「{0.1.,n-1}→A」),意謂有數若干,則集中可取物若干; 自然數集單射之(「 N → A {\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow A} 」); 滿射自然數集 ...

                                               

空集

空集 者,無物之集也。夫集,集數物於一耳。至若斯集,凡集合者,咸括之耳。泰西記之曰「 { } {\displaystyle \{\ \}} 」、「∅」。造此符者,布爾巴基也。布爾巴基者,法蘭西群疇自謂也。 空集公理曰:「空集存也」。外延公理曰:「二集物咸同者,同也」。故無物之 ...

                                               

羅素悖論

理髮師悖論 曰:吾助不自助者,惟不助自助者也。則吾可自助乎? 書目悖論 曰:作一目錄,盡收不列書名之書耳。則此目錄有己乎?

                                               

選擇公理

選擇公理 曰:有非空集族(記曰「 { X α } α ∈ A {\displaystyle \{X_{\alpha }\}_{\alpha \in A}} 」),可各取一物(記曰「 x α ∈ X α {\displaystyle x_{\alpha }\in X_{\alpha }} 」),聚以成族(記曰「 { x α } α ∈ A {\displaystyle \{x_{\alpha }\}_{\alpha ...

                                               

二極管

二極管 者,二電極元件也。分類有二:真空二極管、晶體二極管。